Βράζουμε τις πατάτες και τα καρότα σε μεγάλη κατσαρόλα και σε άφθονο αλατισμένο νερό για 15 λεπτά. Σουρώνουμε καλά και βάζουμε πάλι στην κατσαρόλα. Λιώνουμε με πιρούνι. Προσθέτουμε το τυρί, τα κρεμμυδάκια, τον δυόσμο και τη μουστάρδα.
Πλάθουμε με το μίγμα 8 κροκέτες και βάζουμε στο ψυγείο, να «σφίξουν», για 30 λεπτά τουλάχιστον. Ζεσταίνουμε το μισό βούτυρο και ελαιόλαδο σε μεγάλο αντικολλητικό τηγάνι και τηγανίζουμε 4 κροκέτες , για 3-4 λεπτά την κάθε πλευρά, ώσπου να ροδίσουν και από τις δύο πλευρές, γυρίζοντας μια-δυο φορές. Τις βγάζουμε, τις βάζουμε σε απορροφητικό χαρτί κουζίνας και τις διατηρούμε ζεστές όσο τηγανίζουμε τις υπόλοιπες με το υπόλοιπο βούτυρο και ελαιόλαδο.