Για το πέστο, ανακατεύουμε όλα τα υλικά μας μαζί και το κρατάμε στο ψυγείο.
Για τις ντομάτες, προθερμαίνουμε το φούρνο στους 130°C. Βάζουμε τις ντομάτες σε ταψί και περιχύνουμε με ελαιόλαδο. Πασπαλίζουμε με το θυμάρι, την ζάχαρη και το σκόρδο. Αλατοπιπερώνουμε και ψήνουμε για 40 λεπτά.
Για τις πατάτες, βάζουμε τις βρασμένες πατάτες σε ένα μικρό τηγανάκι και τις σπάζουμε με ένα πιρούνι. Προσθέτουμε όλα τα υπόλοιπα υλικά και τα ενώνουμε με ένα κουτάλι.
Για το λαβράκι, αλατωπιπερώνουμε πρώτα το ψάρι μας. Σε ζεστό τηγάνι περιχύνουμε το ελαιόλαδο και τοποθετούμε το λαβράκι μας από την ανάποδη. Ψήνουμε για 3 λεπτά μέχρι να γίνει τραγανό. Γυρίζουμε από την άλλη πλευρά και χαμηλώνουμε την φωτιά μας. Συνεχίζουμε το ψήσιμο για ακόμη 3 λεπτά και προσθέτουμε τον βούτυρο και το θυμάρι μας. Περιχύνουμε με τον λιωμένο βούτυρο για περισσότερη γεύση.
Σερβίρουμε βάζοντας την πατάτα στο πιάτο μας και από πάνω το λαβράκι. Προσθέτουμε τις ντομάτες και περιχύνουμε με την σάλτσα πέστο. Γαρνίρουμε με σαλάτα ρόκας.